Subject: Matematyka

wyjdzie 43 ;)

zauważasz, że punkty przecięcia siecznych l i k z okręgiem tworzą czworokąt wpisany w okrąg
suma naprzeciwległych kątów tego czworokąta jest równa 180 stopni
oznaczmy jako A i D punkty przecięcia z okręgiem siecznej l, a jako B i C punkty przecięcia siecznej k (punkty liczone są kolejno od punktu P), tak że AD=PA+38, BC=34, PB=6, PC=40

z kilku podstawowym zależności wnioskujemy, że kąt PAB = BCD, oraz kąt PBA = ADC
(zauważasz, że kąty przyległe są jednocześnie kątami naprzeciwległymi :>)
z tego wynika, że trójkąty PBA i PCD są podobne (zasada kkk), przy czym PA/PB = PC/PD
z warunków zadania PD=PA+PA+38=2*PA+38

oznaczmy sobie dla ułatwienia x=PA
otrzymujemy zależność x/6=40/(2x+38) -> x/6=20/(x+19)

x^2 + 19x - 120 = 0
(x+24)(x-5)=0
x=-24 v x=5
jako, że x musi być dodatnie: x=5, czyli PA=5

AD=PA+38=5+38=43

mam nadzieję, że po roku nie pokićkałem wszystkich praw :P
(edited)

To czekam...

PB=6, PC=40

skad to wiesz?

a, pb w danych bylo :)
(edited)

można sobie na podstawie oznaczeń narysować rysunek i od razu więcej wiadomo :P

Ok, dzięki. Ale nie wiem dalej na jakiej podstawie stwierdziłeś te zależności pomiędzy poszczególnymi kątami... Prosta AB i prosta CD nie są do siebie równoległe, czyż nie??

nom, nie musza byc rownolegle

Kąty naprzeciwległe, to są te same, co naprzemianległe??

kąty PAB i BAD, a także PBA i ABC są do siebie przyległe, czyli PAB + BAD =180 i PBA + ABC = 180
z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg masz BAD + BCD = 180 i ABC + ADC = 180
stąd można wywnioskować, że PAB = BDC i PBA = ADC

pewnie tak, ja już się rok czasu takimi sprawami nie zajmowałem :P

a ja chyba będę miał przez matematykę poprawkę ;/

Ok, dzięki! Już rozumiem!

No to jeszcze jedno zadanko:

W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD przecinające się w punkcie S. Wiedząc, że |AS|=6 |SB|=10 |CD|=19, oblicz długości odcinków CS i SD.

mowilem:-/
(edited)

4 i 15 w dowolnej konfiguracji ;)
na podstawie twierdzenia o równości kątów opartych na tym samym łuku wnoiskujemy, że trójkąty ACS i BDS są podobne
oznaczmy długość boku SB jako x

wówczas otrzymujemy proporcję 6/x=(19-x)/10
otrzymujemy równanie:
x^2 - 19x + 60 = 0
(x-15)(x-4)=0
x=4 v x=15

Czyli łuk BD=AC?? Na jakiej podstawie to stwierdziłeś?

nie wiem, skąd taka teza
trójkąty są podobne, czyli mają te same kąty
w większości przypadków te łuki nie będą równe

No, dobrze, ale skąd zatem wiesz, ze katy SBD i BDS są takie same jak SCA i CAS??

Edit: Ok, już wiem!!!
Ramiona kąta ACS i DBA kończą się w tych samych punktach, tak samo jest z pozostałymi dwoma kątami :)

Dzięki za pomoc!!
(edited)